question stringlengths 75 722 | verifiable_answer stringlengths 1 11 | year stringclasses 34 values | grade stringclasses 5 values | full_answer stringlengths 1 67 | solutions listlengths 0 7 | task_complexity stringclasses 3 values | olympiad stringclasses 2 values |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася? | 504 | 2010-2011 | 11 | 504 | [
"Обозначим полученный правильный 2011-угольник через \\( M \\), его вершины (по часовой стрелке) — через \\( X_{1}, X_{2}, \\ldots, X_{2011} \\), его вписанную окружность через \\( \\omega \\), а его центр — через \\( O \\). Назовём прямые, содержащие стороны многоугольника, выделенными.\n\nЗаметим, что для любых п... | HARD | vos |
На окружности отмечены 2012 точек, делящих её на равные дуги. Из них выбрали \(k\) точек и построили выпуклый \(k\)-угольник с вершинами в выбранных точках. При каком наибольшем \(k\) могло оказаться, что у этого многоугольника нет параллельных сторон? | 1509 | 2011-2012 | 9 | При \(k = 1509\). | [
"Пусть \\(A_1, A_2, \\ldots, A_{2012}\\) — отмеченные точки в порядке обхода (мы будем считать, что \\(A_{2013} = A_1\\), \\(A_{2014} = A_2\\)). Разобьём их на четвёрки точек \\((A_1, A_2, A_{1007}, A_{1008})\\), \\((A_3, A_4, A_{1009}, A_{1010}), \\ldots, (A_{1005}, A_{1006}, A_{2011}, A_{2012})\\). Если среди выб... | HARD | vos |
За круглым столом сидят 30 человек — рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причем у рыцаря этот друг — лжец, а у лжеца этот друг — рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос «Сидит ли рядом с вами ваш друг?» сидевшие через одного ответили «да». Сколько из остальных могли также ответить «да»? (Перечислите все варианты и докажите, что других нет.) | 0 | 2011-2012 | 9 | 0 | [
"Из условия следует, что все сидящие за столом разбиваются на пары друзей; значит, рыцарей и лжецов поровну. Рассмотрим любую пару друзей. Если они сидят рядом, то рыцарь на заданный вопрос ответит «да», а лжец — «нет». Если же они не сидят рядом, то их ответы будут противоположными. В любом случае ровно один из па... | MEDIUM | vos |
Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать? | 50 | 2012-13 | 10 | 50 чисел. | [
"Покажем, что в каждый многочлен \\( P(x) \\) Петя мог подставить не более пяти чисел. Действительно, пусть \\( n \\)-й член получившейся арифметической прогрессии равен \\( an + b \\), а \\( n \\)-е из Васиных последовательных чисел равно \\( k + n \\). Тогда Петя мог подставить это число в \\( P(x) \\), если \\( ... | HARD | vos |
Туристическая фирма провела акцию: «Купи путевку в Египет, приведи четырех друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно». За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по 4 новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно? | 29 | 2012-13 | 11 | 29 | [
"Пусть каждый из $x$ потенциальных «счастливчиков» привел по 4 друга. Тогда «приведенных» клиентов $4 x$, еще 13 пришли сами, значит, всего туристов было $13+4 x$. С другой стороны, $x$ человек привели новых клиентов, а 100 человек — не привели, то есть всего туристов было $x+100$. Получим уравнение: $13+4 x=x+100$... | EASY | vos |
Даны натуральные числа \( M \) и \( N \), большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что \( M = 3N \). Чтобы получить число \( M \), надо в числе \( N \) к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число \( N \)? Найдите все возможные ответы. | 6 | 2012-13 | 10 | Цифрой 6. | [
"По условию, \\( M = 3N \\), значит, число \\( A = M - N = 2N \\) чётно. Но, по условию, число \\( A \\) составлено из нечетных цифр и двойки. Значит, \\( A \\) оканчивается на 2. Поэтому вдвое меньшее число \\( N \\) оканчивается либо на 1, либо на 6.",
"Покажем, что \\( N \\) не может оканчиваться на 1. Если \\... | MEDIUM | vos |
Тридцать девочек — 13 в красных платьях и 17 в синих платьях — водили хоровод вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли её соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно? | 17 | 2012-13 | 10 | 17 | [
"Рассмотрим любую девочку. Цвета платьев её соседок слева и справа могли быть такими: синий-синий, синий-красный, красный-синий, красный-красный. Девочка ответила «да» ровно в первых двух случаях; значит, она сказала «да» ровно в том случае, когда её соседка слева была в синем платье.\n\nИтак, поскольку ровно у 17 ... | MEDIUM | vos |
На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между этими точками. При каком наибольшем \(n\) можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более, чем на \(n\), увеличилось? | 670 | 2012-13 | 10 | 670 | [
"Занумеруем точки и стоящие на них фишки по часовой стрелке последовательными неотрицательными целыми числами от 0 до 2012. Рассмотрим произвольную перестановку и фишки с номерами 0, 671 и 1342, изначально расположенные в вершинах правильного треугольника. Попарные расстояния между ними равны 671. После перестановк... | HARD | vos |
Даны натуральные числа M и N, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что M = 3N. Чтобы получить число M, надо в числе N к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число N? Найдите все возможные ответы. | 6 | 2012-13 | 9 | Цифрой 6. | [
"По условию, M = 3N, значит, число A = M — N = 2N чётно. Но, по условию, число A составлено из нечетных цифр и двойки. Значит, A оканчивается на 2. Поэтому вдвое меньшее число N оканчивается либо на 1, либо на 6.",
"Покажем, что N не может оканчиваться на 1. Если N оканчивается на 1, то при его удвоении не происх... | MEDIUM | vos |
В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) равен \( 75^\circ \), а угол \( B \) равен \( 60^\circ \). Вершина \( M \) равнобедренного прямоугольного треугольника \( BCM \) с гипотенузой \( BC \) расположена внутри треугольника \( ABC \). Найдите угол \( MAC \). | 30 | 2013-14 | 11 | 30^\circ | [
"Первый способ. Из условия задачи следует, что угол \\( \\angle BAC = 45^\\circ \\). Проведем окружность с центром \\( M \\) и радиусом \\( MB = MC \\) (см. рис. 11.2). Так как \\( \\angle BMC = 90^\\circ \\), то большая дуга \\( BC \\) этой окружности является геометрическим местом точек, из которых хорда \\( BC \... | MEDIUM | vos |
На окружности отмечено 20 точек. Сколько существует таких троек хорд с концами в этих точках, что каждая хорда пересекает каждую (возможно, в концах)? | 156180 | 2013-14 | 11 | 156180 | [
"Концами искомых хорд могут являться 3, 4, 5 или 6 точек. Разберем эти случаи.\n\n1) Концами хорд являются 3 точки (см. рис. 11.6а). Их можно выбрать \\( C_{20}^{3} \\) способами. Соединить каждую тройку точек хордами попарно можно единственным способом.\n\n2) Концами хорд являются 4 точки. Возможны два случая взаи... | HARD | vos |
У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых — разные, причём любая фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету? | 70 | 2014-15 | 10 | 70. | [
"1. Покажем, что за 70 взвешиваний нумизмат сможет найти настоящую монету. Сложим все 100 монет в кучу. Каждым взвешиванием он будет выбирать две монеты из кучи и сравнивать их. Если их массы равны, то обе монеты настоящие, и требуемая монета найдена. Если же нет, то более тяжёлая монета — фальшивая, и её можно выб... | HARD | vos |
По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных? | 49 | 2014-15 | 9 | 49 | [
"Предположим, что два неотрицательных числа стоят рядом. Тогда число, стоящее перед ними, больше их суммы, то есть оно положительно. Аналогично, число перед ним также положительно, и т. д. В итоге получаем, что все числа неотрицательны; но тогда наименьшее из них не может быть больше суммы двух следующих — противор... | HARD | vos |
Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа \(99! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99\) так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 2? | 20 | 2014-15 | 11 | 20 множителей | [
"Из числа \\(99!\\) необходимо вычеркнуть все множители кратные 5, иначе произведение будет оканчиваться на 0. Всего таких множителей (оканчивающихся на 0 или на 5) — 19.\n\nПроизведение оставшихся множителей оканчивается на 6. Действительно, так как произведение \\(1 \\times 2 \\times 3 \\times 4 \\times 6 \\times... | MEDIUM | vos |
Три пирата вечером поделили добытые за день бриллианты: по двенадцать Биллу и Сэму, а остальные — Джону, который считать не умел. Ночью Билл у Сэма, Сэм у Джона, а Джон у Билла украли по одному бриллианту. В результате средняя масса бриллиантов у Билла уменьшилась на один карат, у Сэма уменьшилась на два карата, зато у Джона увеличилась на четыре карата. Сколько бриллиантов досталось Джону? | 9 | 2014-15 | 8 | 9 бриллиантов | [
"Заметим, что количество бриллиантов у каждого пирата за ночь не изменилось. Так как у Билла — 12 бриллиантов, а их средняя масса уменьшилась на 1 карат, то сумма их масс уменьшилась на 12 каратов. Аналогично, у Сэма — также 12 бриллиантов, их средняя масса уменьшилась на 2 карата, поэтому сумма их масс уменьшилась... | MEDIUM | vos |
Дан треугольник \(ABC\). Прямая, параллельная \(AC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(P\) и \(T\) соответственно, а медиану \(AM\) — в точке \(Q\). Известно, что \(PQ=3\), а \(QT=5\). Найдите длину \(AC\). | 11 | 2014-15 | 9 | 11 | [
"Первый способ. Проведем через точку \\(Q\\) прямую, параллельную \\(BC\\) (\\(N\\) и \\(L\\) — точки пересечения этой прямой со сторонами \\(AB\\) и \\(AC\\) соответственно, см. рис. 9.3а). Поскольку \\(AM\\) — медиана треугольника \\(ABC\\), то \\(LQ=NQ\\), кроме того, \\(PT \\parallel AC\\), то есть, \\(PQ\\) — ... | MEDIUM | vos |
Все натуральные числа, сумма цифр в записи которых делится на 5, выписывают в порядке возрастания: 5, 14, 19, 23, 28, 32, … Чему равна самая маленькая положительная разность между соседними числами в этом ряду? Приведите пример и объясните, почему меньше быть не может. | 1 | 2014-15 | 8 | Наименьшая разность равна 1, например, между числами 49999 и 50000. | [
"Разность меньше 1 быть не может, так речь идет про разность различных натуральных чисел.",
"Понятно, что если два соседних числа отличаются только в разряде единиц, то разность между ними равна 5 (например, 523 и 528). Значит, нужно, чтобы числа отличались и в других разрядах. Можно попробовать взять большее чис... | MEDIUM | vos |
Сколько существует трёхзначных чисел, которые в 5 раз больше произведения своих цифр? | 1 | 2014-15 | 9 | Одно число 175. | [
"Первый способ. В составе цифр, которыми записывается число, нет цифры 0, иначе не может быть выполнено условие задачи. Данное трехзначное число получено умножением на 5 произведения своих цифр, следовательно, оно делится на 5. Значит, его запись оканчивается цифрой 5. Получаем, что произведение цифр, умноженное на... | MEDIUM | vos |
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел? | 8 | 2015-16 | 10 | На 8 нулей. | [
"Покажем, что сумма не может оканчиваться на 9 нулей. Каждое из составленных чисел делится на 9, поскольку сумма его цифр делится на 9. Поэтому их сумма также делится на 9. Наименьшее натуральное число, делящееся на 9 и оканчивающееся на девять нулей, равно \\(9 \\cdot 10^9\\), так что сумма наших чисел не меньше \... | MEDIUM | vos |
На клетчатый лист бумаги размера $100 \times 100$ положили несколько попарно неперекрывающихся картонных равнобедренных прямоугольных треугольничков с катетом 1; каждый треугольничек занимает ровно половину одной из клеток. Оказалось, что каждый единичный отрезок сетки (включая граничные) накрыт ровно одним катетом треугольничка. Найдите наибольшее возможное число клеток, не содержащих ни одного треугольничка. | 2450 | 2015-16 | 11 | $49 \cdot 50 = 2450$ клеток. | [
"Положим $n = 50$. Назовём треугольничек верхним, если он расположен сверху от прямой, содержащей его горизонтальный катет, и нижним иначе. Пронумеруем горизонтальные линии сетки снизу вверх числами от 0 до $2n$.",
"Обозначим через $u_k$ (соответственно $d_k$) число отрезочков $k$-й линии, участвующих в верхних (... | HARD | vos |
Каждая клетка таблицы размером \( 7 \times 8 \) (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трех цветов: красный, желтый или зеленый. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем желтых и не меньше, чем зеленых, а в каждом столбце желтых клеток не меньше, чем красных и не меньше, чем зеленых. Сколько зеленых клеток может быть в такой таблице? | 8 | 2015-16 | 11 | 8 | [
"1) В каждой строке таблицы красных клеток не меньше, чем желтых, следовательно, и во всей таблице красных клеток не меньше, чем желтых.\nВ каждом столбце таблицы желтых клеток не меньше, чем красных, следовательно, и во всей таблице желтых клеток не меньше, чем красных.\nТаким образом, в таблице одинаковое количес... | MEDIUM | vos |
Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встает и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми? | 11 | 2015-16 | 8 | 11 | [
"Оценка. Заметим, что все стулья одновременно занять невозможно, так как в тот момент, когда сядет человек на последний незанятый стул, один из его соседей встанет. Следовательно, одновременно сидящих может быть не больше, чем 11.",
"Пример. Покажем, как посадить 11 человек. Пронумеруем стулья числами от 1 до 12.... | MEDIUM | vos |
Из Златоуста в Миасс выехали одновременно «ГАЗ», «МАЗ» и «КамАЗ». «КамАЗ», доехав до Миасса, сразу повернул назад и встретил «МАЗ» в 18 км, а «ГАЗ» — в 25 км от Миасса. «МАЗ», доехав до Миасса, также сразу повернул назад и встретил «ГАЗ» в 8 км от Миасса. Каково расстояние от Златоуста до Миасса? | 60 | 2015-16 | 9 | 60 км | [
"Пусть расстояние между городами равно \\(x\\) км, а скорости грузовиков: «ГАЗа» — \\(g\\) км/ч, «МАЗа» — \\(m\\) км/ч, «КамАЗа» — \\(k\\) км/ч. Для каждой пары машин приравняем их время движения до встречи. Получим \\(\\frac{x+18}{k}=\\frac{x-18}{m}\\), \\(\\frac{x+25}{k}=\\frac{x-25}{g}\\) и \\(\\frac{x+8}{m}=\\f... | MEDIUM | vos |
Есть клетчатая доска 2015 × 2015. Дима ставит в k клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500 × 1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем k Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля? | 1030 | 2015-16 | 11 | k = 2(2015 − 1500) = 1030. | [
"Покажем, что 1030 детекторов Диме хватит. Пусть он расположит 515 детекторов в 515 левых клетках средней строки квадрата, а остальные 515 детекторов — в 515 верхних клетках среднего столбца. Заметим, что при любом положении корабля его левый столбец лежит в одном из 516 левых столбцов доски. Если этот столбец — од... | HARD | vos |
В белой таблице 2016×2016 некоторые клетки окрасили чёрным. Назовём натуральное число k удачным, если k ≤ 2016, и в каждом из клетчатых квадратов со стороной k, расположенных в таблице, окрашено ровно k клеток. (Например, если все клетки чёрные, то удачным является только число 1.) Какое наибольшее количество чисел могут быть удачными? | 1008 | 2015-16 | 9 | 1008 чисел. | [
"Рассмотрим произвольное окрашивание таблицы. Пусть нашлось хотя бы два удачных числа, и a — наименьшее из них, а b — наибольшее.",
"Поделим b на a с остатком: b = qa + r, где 0 ≤ r < a. Предположим, что q ≥ 2. В произвольном квадрате b×b можно расположить q^2 непересекающихся квадратов a×a. В этих квадратах буде... | MEDIUM | vos |
Самолёт вылетел из Перми 28 сентября в полдень и прибыл в Киров в 11 часов утра (везде в задаче время отправления и прибытия указывается местное). В 19 часов того же дня самолёт вылетел из Кирова в Якутск и прибыл туда в 7 часов утра. Через три часа он вылетел из Якутска в Пермь и вернулся туда в 11 часов утра 29 сентября. Сколько времени самолёт находился в воздухе? | 12 | 2015-16 | 8 | 12 часов | [
"Самолёт отсутствовал в Перми 23 часа. Из них 8 часов он стоял в Кирове (с 11 до 19 часов) и три часа в Якутске. Итого из этих 23 часов он стоял 8 + 3 = 11 (часов), т. е. в воздухе самолёт находился 23 – 11=12 (часов)."
] | MEDIUM | vos |
Дима должен был попасть на станцию в 18:00. К этому времени за ним должен был приехать отец на автомобиле. Однако Дима успел на более раннюю электричку и оказался на станции в 17:05. Он не стал дожидаться отца и пошёл ему навстречу. По дороге они встретились, Дима сел в автомобиль, и они приехали домой на 10 минут раньше рассчитанного времени. С какой скоростью шёл Дима до встречи с отцом, если скорость автомобиля была 60 км/ч? | 6 | 2015-16 | 9 | 6 км/ч | [
"Дима приехал домой на 10 минут раньше, за это время автомобиль дважды проехал бы путь, который Дима прошёл. Следовательно, на пути к вокзалу отец на автомобиле сэкономил 5 минут и встретил Диму в 17:55. Значит, Дима прошёл расстояние от вокзала до встречи с отцом за 50 минут, то есть он шёл в 10 раз медленнее авто... | MEDIUM | vos |
В подземном царстве живут гномы, предпочитающие носить либо зелёные, либо синие, либо красные кафтаны. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Однажды каждому из них задали четыре вопроса. 1. «Ты предпочитаешь носить зелёный кафтан?» 2. «Ты предпочитаешь носить синий кафтан?» 3. «Ты предпочитаешь носить красный кафтан?» 4. «На предыдущие вопросы ты отвечал честно?» На первый вопрос «да» ответили 40 гномов, на второй — 50, на третий — 70, а на четвёртый — 100. Сколько честных гномов в подземном царстве? | 40 | 2015-16 | 9 | 40 честных гномов | [
"На 4-й вопрос и честный, и лгун ответят «да», поэтому в подземном царстве всего 100 гномов. Честный гном на один из трёх первых вопросов ответит «да», а на два — «нет». А лгун, наоборот, на два из первых трёх вопросов ответит «да», а на один — «нет». Пусть всего x честных гномов. Тогда всего на первые три вопроса ... | MEDIUM | vos |
В треугольнике ABC медиана, выходящая из вершины A, перпендикулярна биссектрисе угла B, а медиана, выходящая из вершины B, перпендикулярна биссектрисе угла A. Известно, что сторона AB = 1. Найдите периметр треугольника ABC. | 5 | 2015-16 | 9 | 5 | [
"Пусть AM — медиана, проведённая из вершины A. Тогда в треугольнике ABM биссектриса угла B перпендикулярна стороне AM, т. е. биссектриса является и высотой. Значит, этот треугольник равнобедренный, AB = BM = 1. Но тогда BC = 2BM = 2. Аналогично из второго условия получаем, что сторона AC в два раза больше AB, т. е.... | MEDIUM | vos |
У фокусника и помощника есть колода с картами; одна сторона («рубашка») у всех карт одинакова, а другая окрашена в один из 2017 цветов (в колоде по 1000000 карт каждого цвета). Фокусник и помощник собираются показать следующий фокус. Фокусник выходит из зала, а зрители выкладывают на стол в ряд \( n > 1 \) карт рубашками вниз. Помощник смотрит на эти карты, а затем все, кроме одной, переворачивает рубашкой вверх, не меняя их порядка. Затем входит фокусник, смотрит на стол, указывает на одну из закрытых карт и называет её цвет. При каком наименьшем \( n \) фокусник может заранее договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался? | 2018 | 2016-17 | 11 | 2018 | [
"Положим \\( k = 2017 \\).\n\nПри \\( n = k + 1 \\) фокус устроить легко. Фокусник и помощник нумеруют цвета числами от 1 до \\( k \\). Помощник, видя цвет последней, \\((k + 1)\\)-й карты (пусть его номер равен \\( a \\)), оставляет открытой \\( a \\)-ю карту. Фокусник, увидев, какая по номеру карта открыта, восст... | HARD | vos |
В классе учатся 30 человек: отличники, троечники и двоечники. Отличники на все вопросы отвечают правильно, двоечники всегда ошибаются, а троечники на заданные им вопросы строго по очереди то отвечают верно, то ошибаются. Всем ученикам было задано по три вопроса: “Ты отличник?”, “Ты троечник?”, “Ты двоечник?”. Ответили “Да” на первый вопрос – 19 учащихся, на второй – 12, на третий – 9. Сколько троечников учится в этом классе? | 20 | 2016-17 | 8 | 20 троечников | [
"Пусть а – количество отличников, b – количество двоечников, с – количество троечников, которые ошиблись в ответе на первый вопрос, правильно ответили на второй и ошиблись в ответе на третий (назовем таких троечников троечниками первого типа), а d – количество троечников, которые правильно ответили на первый вопрос... | MEDIUM | vos |
Олег нарисовал пустую таблицу 50 × 50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 — иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца («таблица умножения»). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами? | 1250 | 2016-17 | 10 | 1250 произведений. | [
"Сначала покажем, что иррациональных чисел в таблице не меньше 1250. Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано x иррациональных и 50 − x рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны 50 − x иррациональных и x рациональных чисел. Поскольку произведение ненулевого рационального и иррационального чисел все... | HARD | vos |
Вася задумал 8 клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску 8 ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (т.е. 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть? | 2 | 2016-17 | 11 | За 2 хода. | [
"Покажем сначала, как Петя выиграть за 2 хода. Первым ходом он выставит 8 ладей по диагонали доски. Если он ещё не выиграл, то на диагонали есть нечётное число задуманных Васей клеток. В частности, на ней есть как клетка \\(A\\), задуманная Васей, так и клетка \\(B\\), не задуманная им.",
"Пусть на втором ходу Пе... | MEDIUM | vos |
Олег нарисовал пустую таблицу 50 × 50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 — иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца («таблица умножения»). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами? | 1275 | 2016-17 | 11 | 1275 произведений. | [
"Сначала покажем, что иррациональных чисел в таблице не меньше 1225. Предположим, что среди рациональных чисел есть ноль и он выписан у верхней стороны таблицы. Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано x иррациональных и 50 − x рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны 50 − x иррациональных и x рац... | HARD | vos |
Олег нарисовал пустую таблицу $50 \times 50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 — иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца («таблица сложения»). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами? | 1250 | 2016-17 | 9 | 1250 сумм. | [
"Сначала покажем, что иррациональных чисел в таблице не меньше 1250. Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано $x$ иррациональных и $50-x$ рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны $50-x$ иррациональных и $x$ рациональных чисел. Поскольку сумма рационального и иррационального чисел всегда иррационал... | MEDIUM | vos |
Петя показал Васе 37 внешне одинаковых карточек, выложенных в ряд. Он сказал, что на закрытых сторонах карточек записаны все числа от 1 до 37 (каждое по одному разу) так, что число на любой карточке начиная со второй является делителем суммы чисел, написанных на всех предшествующих карточках. Затем Петя показал Васе, что на первой карточке написано число 37, а на второй — число 1. Вася сказал, что он тогда знает, какое число написано на третьей карточке. Какое? | 2 | 2016-17 | 10 | 2 | [
"Сумма всех чисел, кроме последнего, делится на последнее число, значит, сумма всех чисел также делится на последнее число. Сумма всех чисел от 1 до 37 равна 19 · 37. Значит, последнее число равно 1, 19 или 37. Так как 1 и 37 стоят на первом и втором местах, последнее число — 19. Третье число — делитель числа 37 + ... | MEDIUM | vos |
В комнате 10 ламп. Петя сказал: «В этой комнате есть 5 включённых ламп». Вася ему ответил: «Ты не прав». И добавил: «В этой комнате есть три выключенные лампы». Коля же сказал: «Включено чётное число ламп». Оказалось, что из четырёх сделанных утверждений только одно верное. Сколько ламп включено? | 9 | 2016-17 | 8 | 9 | [
"Первое и третье утверждения одновременно не могут быть оба неверными, иначе в комнате было бы меньше пяти включённых ламп и меньше трёх выключенных, т. е. всего меньше восьми ламп, что противоречит условию. Первое и второе утверждения также не могут быть одновременно неверными. Значит, среди утверждений 1 и 3 есть... | MEDIUM | vos |
Чебурашка и Гена съели торт. Чебурашка ел вдвое медленнее Гены, но начал есть на минуту раньше. В итоге им досталось торта поровну. За какое время Чебурашка съел бы торт в одиночку? | 4 | 2016-17 | 9 | За 4 минуты | [
"Первый способ. Если Чебурашка ест вдвое медленнее Гены, то, чтобы съесть столько же торта, сколько съел Гена, ему нужно в два раза больше времени. Значит, то время, которое Чебурашка ел в одиночку (1 минута), составляет половину всего времени, за которое Чебурашка съел половину торта. Таким образом половину торта ... | MEDIUM | vos |
На шахматной доске стоял 21 король. Каждый из королей находился под боем хотя бы одного из остальных. После того как несколько королей убрали, никакие два из оставшихся королей друг друга не бьют. Какое наибольшее число королей могло остаться? а) Приведите пример исходной расстановки и отметьте убранных королей. б) Докажите, что большее число королей остаться не могло. | 16 | 2016-17 | 9 | 16 | [
"Заметим, что каждый король, снятый с доски, мог бить не более 4 из оставшихся (иначе и некоторые из оставшихся били бы друг друга). Поэтому число оставшихся королей не может превосходить число снятых более чем в 4 раза, то есть не может быть больше 16. Пример приведён на рисунке: серым обозначены короли, которых н... | MEDIUM | vos |
Найдите количество корней уравнения
\[
|x|+|x+1|+\ldots+|x+2018|=x^{2}+2018 x-2019 .
\] | 2 | 2017-18 | 10 | 2 | [
"При \\(x \\in(-2019,1)\\) корней нет, так как на указанном интервале левая часть неотрицательна, а правая — отрицательна.\n\nПри \\(x \\in[1, \\infty)\\) все модули раскрываются со знаком «+», поэтому уравнение примет вид \\(g(x)=0\\), где \\(g(x)=x^{2}-x-2009+(1+2+\\ldots+2018)\\). Поскольку \\(g(1)<0\\), это ква... | HARD | vos |
В стопку сложены 300 карточек: 100 белых, 100 чёрных и 100 красных. Для каждой белой карточки подсчитано количество чёрных, лежащих ниже её, для каждой чёрной — количество красных, лежащих ниже её, а для каждой красной — количество белых, лежащих ниже её. Найдите наибольшее возможное значение суммы трёхсот получившихся чисел. | 20000 | 2017-18 | 11 | 20 000 | [
"Первый способ. Количество различных перестановок карточек конечно. Поэтому их расположение с наибольшей указанной суммой существует (возможно, не единственное).\n\nПусть карточки лежат так, что эта сумма максимальна. Без ограничения общности можно считать, что верхняя карточка — белая. Тогда в этой расстановке не ... | HARD | vos |
Назовём лодочкой трапецию с основаниями 1 и 3, получающуюся приклеиванием к противоположным сторонам единичного квадратика двух треугольничков (полуклеток). В квадрате 100 × 100 расположена невидимая лодочка (её можно поворачивать, она не выходит за границы квадрата, её средняя клетка целиком лежит на одной из клеток квадрата). Одним выстрелом можно накрыть любую треугольную половинку клетки. Если выстрел пересекается с внутренностью лодочки (т. е. пересечение треугольника выстрела с лодочкой имеет ненулевую площадь), то она считается потопленной. Какого наименьшего количества выстрелов достаточно, чтобы наверняка потопить лодочку? | 4000 | 2017-18 | 11 | 4000 выстрелов. | [
"Покажем сначала, что 4000 выстрелов хватит. Разобьём квадрат 100 × 100 на 400 квадратов размером 5 × 5, и в каждом квадрате произведем 10 выстрелов. Нетрудно видеть, что в каждой строке и в каждом столбце между соседними выстрелами нельзя вставить лодочку; значит, один из выстрелов обязательно потопит лодочку.",
... | HARD | vos |
В компании 100 детей, некоторые дети дружат (дружба всегда взаимна). Известно, что при выделении любого ребёнка оставшихся 99 детей можно разбить на 33 группы по три человека так, чтобы в каждой группе все трое попарно дружили. Найдите наименьшее возможное количество пар дружащих детей. | 198 | 2017-18 | 11 | 198 | [
"Переведём задачу на язык графов, сопоставляя ребёнку вершину, а дружбе — ребро. Тогда нам известно, что в данном графе на 100 вершинах при удалении любой вершины оставшиеся можно разбить на 33 тройки так, что в каждой тройке вершины попарно соединены. Требуется же найти минимальное возможное число рёбер в таком гр... | HARD | vos |
Кондитерская фабрика выпускает N сортов конфет. На Новый год фабрика подарила каждому из 1000 учеников школы подарок, содержащий по конфете нескольких сортов (составы подарков могли быть разными). Каждый ученик заметил, что для любых 11 сортов конфет он получил конфету хотя бы одного из этих сортов. Однако оказалось, что для любых двух сортов найдётся ученик, получивший конфету ровно одного из этих двух сортов. Найдите наибольшее возможное значение N. | 5501 | 2017-18 | 9 | 5501 | [
"Обозначим через A₁, A₂, ..., Aₙ множества учеников, не получивших конфет соответственно 1-го, 2-го, ..., N-го сортов. Согласно условию, все эти множества различны; кроме того, каждый ученик содержится не более, чем в десяти из них. Отсюда следует, что суммарное количество элементов в наших множествах не превосходи... | HARD | vos |
Лёша не поленился вычислить сумму
\[
9 + 99 + 999 + \ldots + \underbrace{9 \ldots 9}_{2017}
\]
и выписать ее на доску. Сколько раз в итоговом результате записана цифра 1? | 2013 | 2017-18 | 10 | 2013 | [
"Преобразуем выражение:\n\n\\[\n9 + 99 + 999 + \\ldots + \\underbrace{9 \\ldots 9}_{2017} = (10 - 1) + (100 - 1) + \\ldots + (10^{2017} - 1) =\n\\]\n\\[\n= \\underbrace{1 \\ldots 1}_{2017} 0 - 2017 = \\underbrace{1 \\ldots 1}_{2013} 09093.\n\\]"
] | MEDIUM | vos |
Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвертого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире? | 20 | 2017-18 | 8 | 20 | [
"Пусть Ланселот не сразился с x рыцарями. Тогда общее число рыцарей равно 4x, а сразился Ланселот с 3x - 1 рыцарем (общее количество за вычетом x и самого Ланселота). Тогда Тристан сразился с \\(\\frac{3x-1}{7}\\) рыцарей. Чтобы найти наименьшее возможное количество рыцарей, необходимо подобрать минимальное x такое... | MEDIUM | vos |
В межгалактической гостинице есть 100 комнат вместимостью 101, 102, …, 200 человек. В этих комнатах суммарно живёт n человек. В гостиницу приехал VIP-гость, для которого нужно освободить целую комнату. Для этого директор гостиницы выбирает одну комнату и переселяет всех её жителей в одну и ту же другую комнату. При каком наибольшем n директор гостиницы всегда может таким образом освободить комнату независимо от текущего расселения? | 8824 | 2018-19 | 10 | 8824. | [
"Предположим, что при 8824 постояльцах директор не может осуществить переселение. Разобьём комнаты на пары по вместимости: 101 — 200, 102 — 199, …, 150 — 151. Отметим, что для каждой пары комнат суммарное количество человек, живущих в двух комнатах, больше, чем вместимость большей комнаты из пары, иначе всех челове... | HARD | vos |
При каком наименьшем натуральном \(n\) существуют такие целые \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\), \(a_n\), что квадратный трёхчлен
\[ x^2 - 2(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 x + \left(a_1^4 + a_2^4 + \ldots + a_n^4 + 1
ight) \]
имеет по крайней мере один целый корень? | 6 | 2018-19 | 9 | При \(n = 6\). | [
"При \\(n = 6\\) можно положить \\(a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 1\\) и \\(a_5 = a_6 = -1\\); тогда трёхчлен из условия принимает вид \\(x^2 - 8x + 7\\) и имеет два целых корня: 1 и 7. Осталось показать, что это — наименьшее возможное значение \\(n\\).\n\nПусть числа \\(a_1\\), \\(a_2\\), \\(\\ldots\\), \\(a_n\\) удовлет... | MEDIUM | vos |
Квадрат со стороной 7 клеток полностью замостили трёхклеточными «уголками» и пятиклеточными «плюсиками». Какое наибольшее количество «плюсиков» могло быть использовано? | 5 | 2018-19 | 10 | 5 | [
"Пусть для указанного замощения использовано x «уголков» и y «плюсиков», тогда 3x + 5y = 49.",
"Заметим, что угловые клетки доски могут быть покрыты только «уголками», поэтому «уголков» должно быть не меньше четырёх. Но при x = 4; 5; 6; 7; значения y не будут целыми.",
"Если x = 8, то y = 5. При дальнейшем увел... | MEDIUM | vos |
Стороны основания кирпича равны 28 см и 9 см, а высота 6 см. Улитка ползёт прямолинейно по граням кирпича из вершины нижнего основания в противоположную вершину верхнего основания. Горизонтальная и вертикальная составляющие ее скорости v_x и v_y, связаны соотношением v_x^2 + 4v_y^2 = 1. Какое наименьшее время в минутах может затратить улитка на своё путешествие? | 35 | 2018-19 | 10 | 35 мин | [
"Увеличим высоту кирпича и вертикальную составляющую скорости улитки в два раза. Получим кирпич ABCDEFGH, на котором скорость улитки будет всегда одна и та же: v = √(v_x² + (2v_y)²) = 1 см/мин, а наименьшее время движения такое же, как по исходному кирпичу.",
"Пусть улитка ползет из вершины B в вершину F. Рассмот... | MEDIUM | vos |
Число 890 обладает таким свойством: изменив любую его цифру на 1 (увеличив или уменьшив), можно получить число, кратное 11. Найдите наименьшее трехзначное число, обладающее таким же свойством. | 120 | 2018-19 | 11 | 120 | [
"Так как при указанном изменении последней цифры должно получиться число, делящееся на 11, то искомое число должно отличаться от него на 1. Наименьшее трехзначное число, кратное 11, это 110. Но соседние с ним числа 109 и 111 требуемым свойством не обладают. Действительно, если изменить в числе 109 вторую цифру на 1... | MEDIUM | vos |
У натурального числа N выписали все его делители, затем у каждого из этих делителей подсчитали сумму цифр. Оказалось, что среди этих сумм нашлись все числа от 1 до 9. Найдите наименьшее значение N. | 288 | 2018-19 | 8 | 288 | [
"Заметим, что у числа 288 есть делители 1, 2, 3, 4, 32, 6, 16, 8, 9. Поэтому это число удовлетворяет условию задачи. Докажем, что меньшего числа, удовлетворяющего условию, не существует. Действительно, так как N должно иметь делитель с суммой цифр 9, то N делится на 9. Рассмотрим теперь делитель d с суммой цифр 8. ... | MEDIUM | vos |
Назовём расстоянием между двумя клетками клетчатой доски наименьшее количество ходов, за которое шахматный король может добраться от одной из них до другой. Найдите наибольшее количество клеток, которое можно отметить на доске \(100 imes 100\) так, чтобы среди них не нашлось двух клеток, расстояние между которыми равно 15. | 3025 | 2018-19 | 11 | 3025 клеток | [
"Разобьём доску на 9 квадратов \\(30 \times 30\\), 6 прямоугольников \\(10 \times 30\\) и один квадрат \\(10 \times 10\\). В каждом квадрате \\(30 \times 30\\) клетки разбиваются на \\(15^{2}\\) четвёрок так, что расстояние между любыми клетками в одной четвёрке равно 15 (каждая четвёрка состоит из клеток с координ... | HARD | vos |
Два приведённых квадратных трёхчлена f(x) и g(x) таковы, что каждый из них имеет по два корня, и выполняются равенства f(1) = g(2) и g(1) = f(2). Найдите сумму всех четырёх корней этих трёхчленов. | 6 | 2018-19 | 9 | 6 | [
"Пусть f(x) = x^2 + ax + b, g(x) = x^2 + cx + d. Тогда условия задачи запишутся в виде 1 + a + b = 4 + 2c + d и 4 + 2a + b = 1 + c + d. Вычитая из первого равенства второе, получаем −3 − a = 3 + c, то есть a + c = −6. Но по теореме Виета −a — это сумма корней первого трёхчлена, а −c — сумма корней второго трёхчлена... | MEDIUM | vos |
Каждая грань куба 1000 × 1000 × 1000 разбита на 1000² квадратных клеток со стороной 1. Какое наибольшее количество этих клеток можно закрасить так, чтобы никакие две закрашенные клетки не имели общей стороны? | 2998000 | 2018-19 | 9 | 3 · 1000² - 2000 = 2 998 000 клеток | [
"Рассмотрим произвольную закраску, удовлетворяющую условию. Разобьём все клетки поверхности на «каёмки» так, как показано на рис. 2 — по 500 каёмок вокруг каждой из восьми вершин (одна из каёмок отмечена серым). Тогда в k-й каёмке, считая от вершины, будет Sₖ = 6k - 3 клеток. Так как никакие две закрашенных клетки ... | MEDIUM | vos |
Вычислите:
\[
\left(\frac{1+2}{3}+\frac{4+5}{6}+\frac{7+8}{9}+\ldots+\frac{2017+2018}{2019}\right)+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{673}\right).
\] | 1346 | 2018-19 | 10 | 1346 | [
"Имеем\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n& \\left(\\frac{1+2}{3}+\\frac{4+5}{6}+\\frac{7+8}{9}+\\ldots+\\frac{2017+2018}{2019}\\right)+\\left(1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\ldots+\\frac{1}{673}\\right)= \\\\\n= & \\left(\\frac{(3-2)+(3-1)}{3}+\\frac{(6-2)+(6-1)}{6}+\\frac{(9-2)+(9-1)}{9}+\\ldots \\\\\n& \\left.\\ldots+\\fra... | MEDIUM | vos |
Внутри шляпы волшебника живут 100 кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольным образом вытащить из шляпы 81 кролика, то среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать из шляпы, чтобы среди них точно было два разноцветных? | 61 | 2018-19 | 11 | 61 | [
"Докажем, что если произвольным образом вытащить из шляпы 61 кролика, то среди них найдутся два разноцветных. Предположим противное: пусть имеется \\(a \\geqslant 61\\) кроликов какого-то цвета (например, белого). Пусть второй цвет по количеству кроликов — синий. Тогда в шляпе живёт хотя бы \\(\\frac{100-a}{2}\\) с... | MEDIUM | vos |
Есть три брата-акробата. Их средний рост — 1 метр 74 сантиметра. А средний рост двух из этих братьев: самого высокого и самого низкого — 1 метр 75 сантиметров. Какого роста средний брат? Ответ обоснуйте. | 172 | 2018-19 | 9 | 1 метр 72 сантиметра | [
"Поскольку средний рост всех трёх — 1 метр 74 сантиметра, суммарный рост всех составляет 5 метров 22 сантиметра. Средний рост двух братьев равен 1 метр 75 сантиметров, поэтому их суммарный рост составляет 3 метра 50 сантиметров. А значит, рост среднего брата составляет 1 метр 72 сантиметра."
] | EASY | vos |
У царя восемь сыновей, и все дураки. Каждую ночь царь отправляет троих из них стеречь золотые яблоки от жар-птицы. Поймать жар-птицу царевичи не могут, винят в этом друг друга, и поэтому никакие двое не соглашаются пойти вместе в караул второй раз. Какое наибольшее количество ночей это может продолжаться? | 8 | 2019-20 | 10 | 8 ночей | [
"Оценка. Рассмотрим любого из сыновей. В каждом карауле он находится вместе с двумя братьями, поэтому после трёх его выходов останется один брат, вместе с которым он не ходил в караул, и уже не сможет пойти, так для них не будет третьего. Эта ситуация «симметрична», то есть если сын А после трёх своих выходов не хо... | MEDIUM | vos |
Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на доске размером 8×9 так, чтобы среди любых пяти подряд идущих клеток по горизонтали, вертикали или диагонали была отмеченная клетка? | 14 | 2019-20 | 11 | 14 клеток | [
"Пример. См. рис. 11.4а.",
"Оценка. Выделим на доске 14 прямоугольников размером 1×5, не затрагивающие только две центральные клетки (см. рис. 11.4б). В каждом из них должно быть хотя бы по одной отмеченной клетке, то есть отмеченных клеток не меньше, чем 14."
] | HARD | vos |
Петя ошибся, записывая десятичную дробь: цифры записал верно, а запятую сдвинул на одну позицию. В результате получилось число, которое меньше нужного на 19,71. Какое число должен был записать Петя? | 21.9 | 2019-20 | 8 | 21,9 | [
"Так как в результате ошибки число уменьшилось, то запятая была сдвинута влево. При этом число уменьшилось в 10 раз. Пусть получилось число x, тогда исходное число – это 10x. По условию: 10x – x = 19,71, значит, x = 2,19, 10x = 21,9."
] | EASY | vos |
Кузя разрезал выпуклый бумажный 67-угольник по прямой на два многоугольника, затем таким же образом разрезал один из двух получившихся многоугольников, затем — один из трёх получившихся, и так далее. В итоге у него получилось восемь n-угольников. Найдите все возможные значения n. | 11 | 2019-20 | 8 | 11 | [
"Прямолинейный разрез бывает трёх видов: от стороны к стороне, от вершины к стороне и от вершины до вершины. Значит, после одного разреза суммарное количество сторон многоугольников увеличивается на 4, 3 или 2 соответственно. Кузя сделал 7 разрезов, поэтому добавилось не меньше, чем 14, но не больше, чем 28 сторон.... | MEDIUM | vos |
Число 2019 представили в виде суммы различных нечётных натуральных чисел. Каково наибольшее возможное количество слагаемых? | 43 | 2019-20 | 9 | 43 | [
"Оценка. Вычислим сумму 45 наименьших нечётных натуральных чисел: \\( 1 + 3 + \\ldots + 87 + 89 = \\frac{1 + 89}{2} \\cdot 45 = 2025 > 2019 \\). Значит, слагаемых меньше, чем 45, но сумма 44 нечётных слагаемых является чётным числом, поэтому слагаемых не больше, чем 43.\n\nПример. \\( 2019 = 1 + 3 + \\ldots + 81 + ... | MEDIUM | vos |
На доске написано $n$ различных целых чисел. Произведение двух наибольших равно 77. Произведение двух наименьших тоже равно 77. При каком наибольшем $n$ это возможно? | 17 | 2019-20 | 11 | При $n=17$. | [
"Числа $-11,-7,-6,-5, \\ldots, 6,7,11$ дают пример при $n=17$.\n\nДопустим, что есть хотя бы 18 чисел с таким свойством. Тогда какие-то 9 из них будут одного знака (все положительны или все отрицательны). Среди этих 9 чисел модули двух наибольших будут не меньше 8 и 9 соответственно. Тогда их произведение не может ... | MEDIUM | vos |
На доске написаны n различных целых чисел, любые два из них отличаются хотя бы на 10. Сумма квадратов трёх наибольших из них меньше трёх миллионов. Сумма квадратов трёх наименьших из них также меньше трёх миллионов. При каком наибольшем n это возможно? | 202 | 2019-20 | 9 | При n = 202. | [
"Заметим сразу, что 990² + 1000² + 1010² = (1000 - 10)² + 1000² + (1000 + 10)² = 3 · 1000² + 2 · 10², что больше трёх миллионов. С другой стороны, 989² + 999² + 1009² = (1000 - 11)² + (1000 - 1)² + (1000 + 9)² = 3 · 1000² - 6 · 1000 + (9² + 1² + 11²), что меньше трёх миллионов.",
"Если неотрицательных чисел на до... | HARD | vos |
Зелёный хамелеон всегда говорит правду, а коричневый хамелеон врёт и после этого немедленно зеленеет. В компании из 2019 хамелеонов (зелёных и коричневых) каждый по очереди ответил на вопрос, сколько среди них сейчас зелёных. Ответами были числа 1, 2, 3, ..., 2019 (в некотором порядке, причём не обязательно в указанном выше). Какое наибольшее число зелёных хамелеонов могло быть изначально? | 1010 | 2019-20 | 9 | 1010 | [
"Рассмотрим двух хамелеонов, говоривших подряд. Один из них в момент высказывания был коричневым; действительно, если бы они оба были зелёными, то после высказывания первого количество зелёных хамелеонов не изменилось бы, и второй назвал бы то же число, что и первый. Разобьём всех хамелеонов на 1009 пар, говоривших... | HARD | vos |
При некоторых натуральных $n>m$ число $n$ оказалось представимо в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа $m$, а также в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа $m+1$. При каком наибольшем $m$ это могло произойти (хоть при каком-то $n>m$)? | 2021 | 2020-21 | 11 | 2021 | [
"Пусть $m>2021$. Поскольку любая степень числа $m+1$ дает остаток 1 от деления на $m$, то сумма 2021 таких степеней дает остаток 2021 от деления на $m$. С другой стороны, степени числа $m$ дают лишь остатки 0 или 1 от деления на $m$, поэтому сумма 2021 степени числа $m$ может давать остаток 2021 от деления на $m$ т... | HARD | vos |
В языке три буквы — Ш, У и Я. Словом называется последовательность из 100 букв, ровно 40 из которых — гласные (то есть У или Я), а остальные 60 — буква Ш. Какое наибольшее количество слов можно выбрать так, чтобы у любых двух выбранных слов хотя бы в одной из ста позиций одновременно стояли гласные, причём различные? | 2^40 | 2020-21 | 11 | 2^{40} | [
"Пример. Рассмотрим все $2^{40}$ слов, у которых начиная с 41-ой все буквы Ш, а первые 40 — У или Я. Этот набор слов удовлетворяет условию.\n\nОценка. Каждому из наших $m$ слов сопоставим $2^{60}$ слов, заменяя каждую букву Ш, на У или Я (всеми возможными способами). Заметим, что полученные $m \\cdot 2^{60}$ слов с... | MEDIUM | vos |
На окружности отмечено 1000 точек, каждая окрашена в один из $k$ цветов. Оказалось, что среди любых пяти попарно пересекающихся отрезков, концами которых являются 10 различных отмеченных точек, найдутся хотя бы три отрезка, у каждого из которых концы имеют разные цвета. При каком наименьшем $k$ это возможно? | 143 | 2020-21 | 9 | При $k=143$. | [
"Предположим, что на окружности есть 8 точек одного цвета (скажем, красного). Добавим к ним ещё две отмеченных точки, получив десятиугольник $A_{1} A_{2} \\ldots A_{5} B_{1} B_{2} \\ldots B_{5}$. Тогда отрезки $A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}, \\ldots, A_{5} B_{5}$ попарно пересекаются, и среди них есть три отрезка, у кот... | HARD | vos |
Сколько корней имеет уравнение \(\underbrace{f(f(\ldots f(x) \ldots))}_{10 \text { раз } f}+\frac{1}{2}=0\), где \(f(x)=|x|-1\)? | 20 | 2020-21 | 10 | 20 | [] | HARD | vos |
Сколько корней имеет уравнение \(\underbrace{f(f(\ldots f(x) \ldots))}_{11 \text { раз } f}+\frac{1}{2}=0\), где \(f(x)=|x|-1\)? | 22 | 2020-21 | 10 | 22 | [] | MEDIUM | vos |
Сколько корней имеет уравнение \(\underbrace{f(f(\ldots f(x) \ldots))}_{12 \text { раз } f}+\frac{1}{2}=0\), где \(f(x)=|x|-1\)? | 24 | 2020-21 | 10 | 24 | [] | HARD | vos |
Сколько корней имеет уравнение \(\underbrace{f(f(\ldots f(x) \ldots))}_{13 \text { раз } f}+\frac{1}{2}=0\), где \(f(x)=|x|-1\)? | 26 | 2020-21 | 10 | 26 | [] | HARD | vos |
Равнобедренная трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) такова, что \(\angle ADC=2 \angle CAD=82^{\circ}\). Внутри трапеции выбрана точка \(T\) так, что \(CT=CD, AT=TD\). Найдите \(\angle TCD\). | 38 | 2020-21 | 10 | 38 | [] | MEDIUM | vos |
Равнобедренная трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) такова, что \(\angle ADC=2 \angle CAD=86^{\circ}\). Внутри трапеции выбрана точка \(T\) так, что \(CT=CD, AT=TD\). Найдите \(\angle TCD\). | 34 | 2020-21 | 10 | 34 | [] | MEDIUM | vos |
Равнобедренная трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) такова, что \(\angle ADC=2 \angle CAD=88^{\circ}\). Внутри трапеции выбрана точка \(T\) так, что \(CT=CD, AT=TD\). Найдите \(\angle TCD\). | 32 | 2020-21 | 10 | 32 | [] | MEDIUM | vos |
На острове живут два племени: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 80 человек сели за круглый стол, и каждый из них заявил: «Среди 11 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, есть хотя бы 9 лжецов». Сколько рыцарей сидит за круглым столом? Укажите все возможные варианты. | 20 | 2020-21 | 10 | 20 | [] | MEDIUM | vos |
У Веры есть набор различных по массе гирь, каждая из которых весит целое число грамм. Известно, что самая лёгкая гиря набора весит в 71 раз меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Также известно, что две самые лёгкие гири набора вместе весят в 34 раза меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Какое наименьшее число грамм может весить самая лёгкая гиря? | 35 | 2020-21 | 11 | 35 | [] | MEDIUM | vos |
На координатной плоскости отметили все точки (x, y) такие, что x и y — целые числа, удовлетворяющие неравенствам 0 ≤ x ≤ 2 и 0 ≤ y ≤ 26. Сколько существует прямых, проходящих ровно через 3 отмеченные точки? | 365 | 2020-21 | 11 | 365 | [] | MEDIUM | vos |
На стороне AC треугольника ABC отмечены точки M и N (M лежит на отрезке AN). Известно, что AB = AN, BC = MC. Описанные окружности треугольников ABM и CBN пересекаются в точках B и K. Сколько градусов составляет угол AKC, если ∠ABC = 64°? | 122 | 2020-21 | 11 | 122 | [] | MEDIUM | vos |
Вася заменил в двух числах одинаковые цифры одинаковыми буквами, разные – разными. Получилось, что число ВАЗА делится на 8, а ТОПАЗ делится на 20. Найдите две последние цифры суммы ВАЗА + ТОПАЗ. | 88 | 2020-21 | 8 | 88 | [] | HARD | vos |
Вася заменил в двух числах одинаковые цифры одинаковыми буквами, разные – разными. Получилось, что число ОБЛАКО делится на 4, а КУСОК делится на 36. Найдите две последние цифры суммы ОБЛАКО + КУСОК. | 32 | 2020-21 | 8 | 32 | [] | MEDIUM | vos |
Дан параллелограмм \(ABCD\), \(\angle D = 100^\circ\), \(BC = 24\). На стороне \(AD\) есть такая точка \(L\), что \(\angle ABL = 50^\circ\), \(LD = 8\). Найдите длину \(CD\). | 16 | 2020-21 | 8 | 16 | [] | MEDIUM | vos |
Дан параллелограмм \(ABCD\), \(\angle D = 140^\circ\), \(BC = 36\). На стороне \(AD\) есть такая точка \(L\), что \(\angle ABL = 70^\circ\), \(LD = 12\). Найдите длину \(CD\). | 24 | 2020-21 | 8 | 24 | [] | MEDIUM | vos |
В лес за грибами ходили четыре мальчика и три девочки. Каждый нашёл несколько грибов, всего они собрали 70 штук. Никакие две девочки не собирали поровну, а любые трое мальчиков принесли вместе не менее 43 грибов. У любых двоих детей число собранных грибов отличалось не более чем в 5 раз. Маша собрала больше всех из девочек. Сколько она принесла грибов? | 5 | 2020-21 | 8 | 5 | [] | MEDIUM | vos |
В лес за грибами ходили четыре мальчика и три девочки. Каждый нашёл несколько грибов, всего они собрали 70 штук. Никакие две девочки не собирали поровну, а любые трое мальчиков принесли вместе не менее 43 грибов. У любых двоих детей число собранных грибов отличалось не более чем в 5 раз. Маша собрала меньше всех из девочек. Сколько она принесла грибов? | 3 | 2020-21 | 8 | 3 | [] | MEDIUM | vos |
В лес за грибами ходили четыре мальчика и три девочки. Каждый нашёл несколько грибов, всего они собрали 61 штук. Никакие две девочки не собирали поровну, а любые трое мальчиков принесли вместе не менее 34 грибов. У любых двоих детей число собранных грибов отличалось не более чем в 3 раза. Маша собрала больше всех из девочек. Сколько она принесла грибов? | 6 | 2020-21 | 8 | 6 | [] | HARD | vos |
В лес за грибами ходили четыре мальчика и три девочки. Каждый нашёл несколько грибов, всего они собрали 61 штук. Никакие две девочки не собирали поровну, а любые трое мальчиков принесли вместе не менее 34 грибов. У любых двоих детей число собранных грибов отличалось не более чем в 3 раза. Маша собрала меньше всех из девочек. Сколько она принесла грибов? | 4 | 2020-21 | 8 | 4 | [] | HARD | vos |
Найдите наибольшее пятизначное число, произведение цифр которого равно 120. | 85311 | 2020-21 | 9 | 85311 | [] | MEDIUM | vos |
Найдите наибольшее шестизначное число, произведение цифр которого равно 120. | 853111 | 2020-21 | 9 | 853111 | [] | MEDIUM | vos |
Найдите наибольшее шестизначное число, произведение цифр которого равно 280. | 875111 | 2020-21 | 9 | 875111 | [] | MEDIUM | vos |
В течение первого полугодия лентяй Паша заставлял себя решать задачи по математике. Каждый день он решал не более 10 задач, а если в какой-нибудь день он решал больше 7 задач, то следующие два дня он решал не более 5 задач в день. Какое наибольшее количество задач Паша мог решить за 7 подряд идущих дней? | 52 | 2020-21 | 9 | 52 | [] | MEDIUM | vos |
В течение первого полугодия лентяй Паша заставлял себя решать задачи по математике. Каждый день он решал не более 10 задач, а если в какой-нибудь день он решал больше 7 задач, то следующие два дня он решал не более 5 задач в день. Какое наибольшее количество задач Паша мог решить за 6 подряд идущих дней? | 45 | 2020-21 | 9 | 45 | [] | MEDIUM | vos |
В течение первого полугодия лентяй Паша заставлял себя решать задачи по математике. Каждый день он решал не более 10 задач, а если в какой-нибудь день он решал больше 7 задач, то следующие два дня он решал не более 5 задач в день. Какое наибольшее количество задач Паша мог решить за 8 подряд идущих дней? | 59 | 2020-21 | 9 | 59 | [] | MEDIUM | vos |
В течение первого полугодия лентяй Паша заставлял себя решать задачи по математике. Каждый день он решал не более 10 задач, а если в какой-нибудь день он решал больше 7 задач, то следующие два дня он решал не более 5 задач в день. Какое наибольшее количество задач Паша мог решить за 9 подряд идущих дней? | 66 | 2020-21 | 9 | 66 | [] | MEDIUM | vos |
Точка \(M\) — середина стороны \(BC\) треугольника \(ABC\), в котором \(AB = 19\), \(AC = 36\), \(BC = 21\). На стороне \(AB\) как на диаметре построена окружность. На этой окружности выбирается произвольная точка \(X\). Какое минимальное значение может принимать длина отрезка \(MX\)? | 8.5 | 2020-21 | 9 | 6.5 | [] | MEDIUM | vos |
Рома загадал натуральное число, сумма цифр которого делится на 8. Затем прибавил к загаданному числу 2 и снова получил число, сумма цифр которого делится на 8. Найдите наименьшее число, которое мог загадать Рома. | 699 | 2020-21 | 10 | 699 | [
"Если оба числа делятся на 8, то и их разность делится на 8. Если при прибавлении не было перехода через десяток, то сумма цифр отличалась бы на 2, что не делится на 8. Если был переход через десяток, но не было перехода через сотни, то сумма цифр отличалась бы на 9 − 2 = 7, что также не делится на 8. А если был пе... | MEDIUM | vos |
Диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(K\). Оказалось, что \(AB = BK = KD\). На отрезке \(KC\) отметили такую точку \(L\), что \(AK = LC\). Найдите \(\angle BLA\), если известно, что \(\angle ABD = 52^\circ\) и \(\angle CDB = 74^\circ\). | 42 | 2020-21 | 8 | 42 | [
"Треугольник \\(ABL\\) равен треугольнику \\(KDC\\) (\\(AL = KC\\), \\(AB = KD\\) и \\(\\angle BAK = \\angle BKA = \\angle DKC\\)). Имеем \n\n\\[ \n\\begin{aligned} \n\\angle BLA & = 180^\\circ - \\angle BAL - \\angle ABL = 180^\\circ - \\frac{180^\\circ - \\angle ABD}{2} - \\angle CDB = \\\\ \n& = 90^\\circ + \\fr... | MEDIUM | vos |
Вдоль аллеи в один ряд высадили клёны и лиственницы, всего 75 деревьев. Известно, что нет двух клёнов, между которыми растёт ровно 5 деревьев. Какое наибольшее количество клёнов могло быть высажено вдоль аллеи? | 39 | 2020-21 | 8 | 39 | [
"Разобьём все деревья на группы по 12 стоящих подряд. Будет 6 полных групп и ещё 3 дерева в конце. В каждой группе деревья разобьём на 6 пар: первое с седьмым, второе с восьмым, ..., шестое с двенадцатым. Заметим, что между деревьями в одной паре ровно 5 других деревьев, а значит, в этой паре максимум один клён. По... | MEDIUM | vos |
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Известно, что $\angle ADB = 48^\circ$, $\angle BDC = 56^\circ$. Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $X$ так, что $\angle BCX = 24^\circ$, а луч $AX$ является биссектрисой угла $BAC$. Найдите угол $CBX$. | 38 | 2020-21 | 9 | 38 | [
"Углы $BDC$ и $BAC$ равны, так как опираются на одну дугу. Аналогично, равны углы $ADB$ и $ACB$. Тогда\n\n$\\angle ACX = \\angle ACB - \\angle XCB = \\angle ADB - \\angle XCB = 48^\\circ - 24^\\circ = 24^\\circ = \\angle XCB$\n\nПолучаем, что $CX$ — биссектриса угла $ACB$, поэтому $X$ — точка пересечения биссектрис... | MEDIUM | vos |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.